2.3
Grafik Fungsi
Definisi 2.3.1.
Grafik suatu fungsi $f(x)$ pada bidang-$xy$ didefinisikan sebagai
himpunan semua titik koordinat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan
$y=f(x)$.
| Operasi pada \( y = f(x) \) | Persamaan Baru | Efek Geometrik |
|---|---|---|
| Penambahan dengan konstanta \( c > 0 \) pada \( f(x) \) | \( y = f(x) + c \) | Grafik \( y = f(x) \) bergeser ke atas sejauh \( c \) satuan |
| Pengurangan dengan konstanta \( c > 0 \) pada \( f(x) \) | \( y = f(x) - c \) | Grafik \( y = f(x) \) bergeser ke bawah sejauh \( c \) satuan |
| Penambahan dengan konstanta \( c > 0 \) pada \( x \) | \( y = f(x + c) \) | Grafik \( y = f(x) \) bergeser ke kiri sejauh \( c \) satuan |
| Pengurangan dengan konstanta \( c > 0 \) pada \( x \) | \( y = f(x - c) \) | Grafik \( y = f(x) \) bergeser ke kanan sejauh \( c \) satuan |
- Grafik $y=f(x)$ dan $y=f(-x)$ adalah pencerminan satu sama lain terhadap sumbu-$y$.
- Grafik $y=f(x)$ dan $y=-f(x)$ adalah pencerminan satu sama lain terhadap sumbu-$x$.
- Uji garis vertikal: Suatu grafik dalam bidang-$xy$ adalah grafik dari $y=f(x)$ untuk suatu fungsi $f$ apabila tidak ada garis vertikal yang memotong grafik di lebih dari satu titik.
- Uji garis horizontal: Suatu grafik dalam bidang-$xy$ adalah grafik dari $x=g(y)$ untuk suatu fungsi $g$ apabila tidak ada garis horizontal yang memotong grafik di lebih dari satu titik.
Contoh 1
Gambarkan sketsa grafik dari fungsi $$\frac{x+x^3}{x}.$$
Pembahasan
Misalkan $f(x)=\displaystyle \frac{x+x^3}{x}$. Perhatikan bahwa
$f$ terdefinisi jika $x\neq0$.
$$f(x)=\frac{x+x^3}{x}=\frac{x(1+x^2)}{x}=x^2+1$$ Terlihat bahwa
$f$ memiliki kurva dasar $y=x^2$ yang digeser $1$ satuan ke atas
dan $x\neq0$ sehingga grafiknya adalah sebagai berikut.
Contoh 2
Sketsa di bawah ini merupakan grafik dari...
Pembahasan
Grafik memiliki persamaan yang berbeda untuk
$x\in(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)$ dan $x\in(-2,0)$. Pada
$x\in(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)$, grafik memiliki kurva dasar
$y=x^2$ yang kemudian digeser ke bawah sejauh $1$ satuan dan
digeser ke kiri sejauh $1$ satuan. Dengan demikian, persamaan
untuk grafik pada interval $(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)$ adalah
$$y=(x+1)^2-1=x^2+2x+1-1=x^2+2x\dots(i)$$ Adapun pada $x\in(-2,0)$
grafik memiliki persamaan yang merupakan pencerminan terhadap
sumbu-$x$ dari persamaan $(i)$, yaitu: $$y=-(x^2+2x)\dots(ii)$$
Dengan demikian, sketsa grafik tersebut apabila dituliskan dalam
bentuk persamaan adalah gabungan dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$.
$$y=f(x)=\begin{cases} x^2+2x,\quad
x\in(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)\\ -(x^2+2x),\quad x\in(-2,0)
\end{cases}=|x^2+2x|.$$
Latihan!
Sketsa di bawah ini merupakan grafik dari...
Misalkan sketsa di atas merupakan grafik dari $y=f(x)$, grafik
yang kita cari memiliki persamaan $y=f(x)+2$. Oleh karena itu,
akan dicari terlebih dahulu $f(x)$. Asumsikan $f$ menyinggung
sumbu-$x$ di titik $(1,0)$ dan $(3,0)$. Grafik $f$ memiliki
persamaan yang berbeda untuk $x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$
dan $x\in(1,3)$. Pada $x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$, $f$
memiliki kurva dasar $y=x^2$ yang digeser sejauh $1$ satuan ke
bawah dan $2$ satuan ke kanan ($y=(x-2)^2-1$), kemudian
dicerminkan terhadap sumbu-$x$ sehingga
$y=-((x-2)^2-1)=1-(x-2)^2\dots(i)$. Adapun pada $x\in(1,3)$,
grafik $f$ memiliki persamaan yang merupakan pencerminan
terhadap sumbu-$y$ dari $(i)$, yaitu
$y=-(1-(x-2)^2)=(x-2)^2-1\dots(ii)$. Dengan demikian, sketsa
grafik $f$ tersebut apabila dituliskan dalam bentuk persamaan
adalah gabungan dari persamaan $(i)$ dan $(ii)$.
$$f(x)=\begin{cases} 1-(x-2)^2,\quad
x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\\ -(1-(x-2)^2),\quad x\in(1,3)
\end{cases}=|1-(x-2)^2|.$$ Ingat bahwa hasil dari tanda mutlak
selalu tak negatif sedangkan pada gambar, grafik berada di bawah
sumbu-$x$ yang berarti nilainya tak pernah positif. Oleh karena
itu, dapat disimpulkan bahwa $f(x)=-|1-(x-2)^2|$ dan grafik yang
ditanyakan memiliki persamaan $$y=f(x)+2=-|1-(x-2)^2|+2.$$
ETS 2023/2024
Diberikan fungsi $f(x)=x^2-2x+1$. Sketsa grafik $f(x)$.
ETS 2023/2024
Diberikan $g(x)=\sqrt{1-x}$, $f(x)=x^2+4$, dan $h(x)=(f\circ
g)(x)$. Sketsa fungsi $h(x)$.
